Лекция по теории вероятностей.
1. События А и С называются независимыми, если Р(АС)=P(А)Р(С). Так гласит стандартное определение. Человеку стороннему совершенно не понятно, почему это занудство необходимо именно так называть. Между тем, это не формально-арифметическое определение (как выражается Штурман), у него есть глубокий смысл. Для понимания смысла нужно знать следующее:
2. Условной вероятностью события С при условии А Р(С|A) в стандартных курсах называют выражение P(AC)/P(A). Это формальное определение, и за ним смысла не увидишь.
Давайте вот таким способом: C|A обозначим появление события С в новых условиях, когда уже известно, что А произошло. Если вычислить, чему равна эта вероятность, то получится в аккурат выражение выше. Таким образом, это и есть условная вероятность. Но теперь ее определение не формально, а наделено смыслом.
3. А теперь посмотрим, как по-другому выглядит определение независимости. Делим обе части на P(A). Получили: Р(С|A)=P(C). Переводим на русский язык:
появление события А не влияет на ВЕРОЯТНОСТЬ появления события С.
Если это верно, то из всех формул выше следует и другое: появление события С не влияет на ВЕРОЯТНОСТЬ события А.
Итак, два события независимы, если появление любого из них не изменяет вероятности появления другого.
Именно так и следует понимать определение независимости событий.
4. Где ты ошибаешься. Это подводит магическая формула: исход одного события не влияет на исход другого (именно такие события ты считаешь независимыми) Переводя на язык буковок это означает C|A=C. То есть равны сами события, а не их вероятности. На ВЕРОЯТНОСТЬ исхода он не должен влиять!
Таким образом, твоя независимость – действительно более узкое понятие.
6. Примеры. Пусть А, В, С – те же что у тебя. События А и В ты будешь считать независимыми, поскольку B|A=B. Независимость их в общепринятом смысле отсюда следует автоматически.
Но C|A = вторая монета решкой вверх.
Вероятность этого события 0.5, та же что у C, так что появление А не влияет на ВЕРОЯТНОСТЬ появления С, и события независимы.
Но: C|A не равно C (то есть от исхода А исход С зависит).
Так вот: с твоей точки зрения такие события зависимы. С точки зрения теории вероятностей – нет.
