Помощь Помощь по математике

исследовать на сходимость интеграл Sin(x)/x dx в пределах от 1 до +бесконечности.... помогите плиз я в это чет ваще не шарю(

В общем случае S f(x)*g(x)dx в пределах от a до w, где w - особая точка.
Признак сходимости Дирихле (исследование на условную сходимость):
Д1)Функция верхнего предела интегрирования F(b)= S f(x)dx в пределах от a до b - ограничен на [a,w),
т.е. существует c такое, что для любого b>a
|S f(x)dx в пределах от a до b|<=c
Д2) g(x) монотонно ->0 при x->w-0 , т.е.
а) g(x)->0 при x->w-0
б)g'(x)<0
Если выполняется Д1 и Д2, то интеграл условно сходится.
S Sin(x)/x dx в пределах от 1 до +бесконечности
w=+бесконечность
f(x)=sin(x)
g(x)=1/x
a=1
Остаётся только проверить условия Д1 и Д2.
Д1 |S sin(x)dx в пределах от 1 до b|=|cos(1) -cos(b)|<=|cos(1)| +|cos(b)|<=2
т.е. c=2. Это выполняется для любого b>1.
Д2 а) lim 1/x при x->+бесконечность=0
б)-1/x^2 <0
Условия выполнены - интеграл сходится по признаку Дирихле.

Кроме того, интеграл можно исследовать на абсолютную сходимость, т.е. исследовать на сходимость интеграл от модуля функции.
S |sin(x)/x| dx в пределах от 1 до +бесконечности>=
(пользуемся оценкой |sin(x)|>=sin^2 (x) )
>=S sin^2 (x)/x dx в пределах от 1 до +бесконечности=
=S (1-cos2x)/x dx в пределах от 1 до +бесконечности
Дальше, я надеюсь, вы сами дорешаете.
P.S. В итоге получится, что интеграл рассходится абсолютно.
 

Red Wings

Ословед
Из школьной программы, как мне помнится, среднее арифметическое дробей - это их сумма, с последующим делением числителя на кол-во дробей, если числитель делится без остатка. А если с остатком???
Необходим точный алгоритм, для последующей реализации на языке программирования.
Заранее спасибо.
 

walrus

Ословед
Среднее арифметическое с дробями не связано. Среднее арифметическое - просто сумма, делённая на количество элементов.

Т.о. реализация нужна только для сложения дробей (если имеются в виду обыкновенные дроби).

Для этого находится НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей (можно последовательно по парам), все приводятся к общему знаменателю, складываются, затем умножаем знаменатель на количество, выделяем целую часть и сокращаем на НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя.

Нахождение НОД(a,b): проверяем, не делится ли одно на другое нацело, если да, то меньшее - НОД. Если нет, то делим большее на меньшее с остатком и берём остаток. Вроде называется "алгоритм Евклида", но не помню.

Для нахождения НОК пользуемся равенством НОК*НОД=a*b.
 

SokoL.93

You already know who I am
Награды
7
Помогите пожалуйста с интегралами! Очень прошу...:sorry::yes:
 

yoshka

Ословед
1. Старательно разбиваем на слагаемые.
(x(x+3)^2+4(x+2))/(x(x+2)^3) = ( 1+(x+2)^(-2) ) * (x+2)^(-2) + 1/x - 1/(x+2) -2/(x+2)^2 = [Раскрываем скобки, сокращаем лишнее] = 1/(x+2)^3 + 1/x
Вот это выражение уже лучше интегрируется. В итоге ответ будет -1/(2(x+2)^2) + ln(x)

3. Аналогично. Делим числитель на знаменатель, выходит
x-4 + (10x^2+20x+17)/((x^2+2x+2)(x+2)) = x - 4 + 10/(x+2) -3/((x^2+2x+2)(x+2)) = x - 4 + 10/(x+2) - 3/2*( 1/(x+2) -(x+1)/(2(x^2+2x+2)) + 1/(x^2+2x+2) )
Интегрируем каждое слагаемое и упрощаем. Получается
1/2*x^2-4*x+17/2*ln(x+2)+3/4*ln(x^2+2*x+2)-3/2*arctg(x+1)

5. Приводим к натуральному логарифму и интегрируем по частям. 3/4*lnx/ln3 d(x^(4/3)) = 3/4 * lnx * x^(4/3) - *под интегралом* 3/4/ln3(x^(4/3)d(lnx)) =
3/4/ln(3)*x^(4/3)*ln(x)-9/16*1/ln(3)*x^(4/3). Подставим пределы интегрирования, 3^6/16(12-1/ln3)
 

    SokoL.93

    очки: 68
    спс
помогите пожалуйста :)

1. Нужно посторить график (система) и исследовать его
х^3 при х≤0
tg x при 0<x≤ пи/2
sin x при х≥ пи/2

2. исследование (графики я построил)
f(x)=2^4/x
f(x)=|6x-1| / 6x-1
 

Black_Heart

Ословед
Производная

Помогите, пожалуйста, производную найти. Точки перегиба нужно вычислить:
 

    JIECHuK

    очки: 90
    ну так понятно, или что?

JIECHuK

Ословед
Помогите, пожалуйста, производную найти. Точки перегиба нужно вычислить:

( f(x)*g(x) )' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
( f(x)/g(x) )' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2
( f(g(x)) )' = f'(g(x))*g'(x)
Вот все, что нужно знать для нахождения производной.

( e^(-x)*(2-6x)/(3x^(2/3)) )' = -e^(-x)*(2-6x)/(3x^(2/3)) + e^(-x)*((-6)*(3x^(2/3))-(2-6x)*(2x^(-1/3)))/(9x^(4/3))
 

    Black_Heart

    очки: 69
    Я знаю формулы) Просто исследование функции меня с ума уже свело :)

JIECHuK

Ословед
Помогите решить интеграл:

По идее здесь надо сделать замену tgx=t, так как сумма степеней - целое положительное число, только вот как дальше преобразовать к тангенсу и получить выражение с dt я не пойму. :(
пмоему проще сделать замену t=sin(2x), а cos(2x)^3 разбить на cos(2x)^2=1-t^2 и cos(2x), который внести под знак дифференциала
(получится 1/2*d(sin(2x))=1/2*dt)
тогда исходный интеграл вообще полином: (1-t^2)t^5=t^5-t^7, ну и тд
 

Лилиана

Девушка
Помогите решить, пожалуйста.
Нужно найти массу сферы с центром в начале координат и радиусом 1, лежащую в первом октанте и ограниченную х<=0,5
плотность равна х^2+y^2
нужно через тройной интеграл решить, и там в конце получается интеграл с косинусом, никак не получается выйти на ответ((
 

JIECHuK

Ословед
Помогите решить, пожалуйста.
Нужно найти массу сферы с центром в начале координат и радиусом 1, лежащую в первом октанте и ограниченную х<=0,5
плотность равна х^2+y^2
нужно через тройной интеграл решить, и там в конце получается интеграл с косинусом, никак не получается выйти на ответ((

int(int(int(x^2+y^2, z = 0 ... 1-x^2-y^2), y = 0 ... 1-x^2), x = 0 ... 0,5)
кажется, если делать замену, получится слишком сложно: придется разбивать на два интеграла, находить границу и тд. вобщем я не придумал ничего лучше, чем посчитать его "в лоб":)
интегрируем по z
int(x^2+y^2, z = 0 ... 1-x^2-y^2) = (x^2+y^2)*(1-x^2-y^2) = x^2 - x^4 - 2*x^2*y^2 + y^2-y^4
интегрируем по у
int(x^2 - x^4 - 2*x^2*y^2 + y^2-y^4, y = 0 ... 1-x^2) = -(1/5)*(1-x^2)^5+(1/3*(-2*x^2+1))*(1-x^2)^3+x^2*(1-x^2)^2 = 2/15+(1/3)*x^2-x^4+(2/3)*x^6-(1/3)*x^8+(1/5)*x^10
интегрируем по х
int(2/15+(1/3)*x^2-x^4+(2/3)*x^6-(1/3)*x^8+(1/5)*x^10, x = 0 ... 0,5) = ( (2/15)*x+(1/9)*x^3-(1/5)*x^5+(2/21)*x^7-(1/27)*x^9+(1/55)*x^11 ) | от 0 до 0,5 = 1596377 / 21288960

в общем, какие-то странные у вас задания
 

Лилиана

Девушка
Вот я тоже нашла границу, все сделала и нифига не получилось, переходила к сферическим координатам. Этот кусок сыра упорно не хочет считаться. Там получается котангенс этта в пределах интегрирования от нуля до пи/2. Любой адыкватный человек понимает что это фигня=\
ну ладно, спасибо)))
 
int(int(int(x^2+y^2, z = 0 ... 1-x^2-y^2), y = 0 ... 1-x^2), x = 0 ... 0,5)
Расстрою, но ты упустил нечто главное. Для сферы единичного радиуса имеет место соотношение x^2+y^2+z^2=1, для круга в плоскости OXY x^2+y^2=1. Следовательно, неправильно расставлены пределы интегрирования. Надо z= 0 ... sqrt(1-x^2-y^2),
y= 0 ... sqrt(1-x^2) (выражения z и y с минусами тут не нужны, т.к. первый октант).
P.S. в своём посте ты посчитал интеграл по объёму, ограниченному более хитрой поверхностью, а не сферой.
 

JIECHuK

Ословед
Расстрою, но ты упустил нечто главное. Для сферы единичного радиуса имеет место соотношение x^2+y^2+z^2=1, для круга в плоскости OXY x^2+y^2=1. Следовательно, неправильно расставлены пределы интегрирования. Надо z= 0 ... sqrt(1-x^2-y^2),
y= 0 ... sqrt(1-x^2) (выражения z и y с минусами тут не нужны, т.к. первый октант).
P.S. в своём посте ты посчитал интеграл по объёму, ограниченному более хитрой поверхностью, а не сферой.

ты прав, глупость написал и совсем про корень забыл
 
Сверху